Nachdem wir in den letzten Videos notwendige Optimalitätsbedingungen erster und zweiter

Ordnung im unrestringierten Optimierungsproblem betrachtet haben, wollen wir uns diesmal nicht

nur anschauen, was mögliche Kandidaten für ein lokales Minimum sind, sondern wie wir sicher gehen

können, dass wirklich solch ein lokales Extremum vorliegt. Und dafür schauen wir uns die sogenannten

hinreichenden Optimalitätsbedingungen zweite Ordnung in diesem Video an. Das heißt, wir beginnen

direkt mit dem Hauptsatz dieser Aussage, die hinreichenden Optimalitätsbedingungen

zweite Ordnung. Das deutet schon wieder darauf hin, dass irgendwie die zweite Ableitung mit eine

Rolle spielt und dem ist auch so. Wir werden nämlich als entscheidendes Kriterium die Definitei der

Hesselmatrix untersuchen. Aber jetzt formulieren wir zuerst einmal den Satz. Wir brauchen wir

mal eine offene zusammenhängende Teilmenge, die nennen wir Omega, eine offene zusammenhängende

Teilmenge, auch n. Und wir brauchen eine Zielfunktion,

F von Omega. Und wir betrachten das Ganze nur für reellwertige Funktion. Das heißt,

wir gehen jetzt in dem Fall nicht nach R auch M, sondern nach R. Eine reellwertige Zielfunktion.

Jetzt brauchen wir einen Punkt, der sich durch zwei Eigenschaften auszeichnet. Den Punkt nennen wir

wieder X Sternchen, wie so oft. Teilmenge Omega. Ein Punkt für den Gelte. Aber was brauchen wir?

Zu allererst mal brauchen wir, dass es ein stationärer Punkt ist. Das heißt insbesondere,

dass die notwendigen Optimalitätskriterien erster Ordnung erfüllt sind. Das heißt,

zuerst wollen wir, dass der Gradient von der Zielfunktion F in diesem ausgezeichneten Punkt

X Sternchen Null ist. Und das zweite Kriterium, und das ist das, was diese Optimalitätsbedingungen

hinreichend machen, ist, dass die Hesselmatrix in diesem Punkt echt positiv definiert ist.

Das heißt, wir schreiben HF im Punkt X Sternchen soll positiv definiert sein. Außerdem verlangen

wir, dass die Hesselmatrix von F stetig ist in einer offenen Umgebung. Also, dass sie nicht nur

exakt in diesem Punkt positiv definiert ist, sondern durch irgendein unvorhersehbares,

unstetiges Verhalten plötzlich doch noch indefiniert wird. Denn das würde uns den Beweis kaputt machen.

Das heißt, wir fordern auch Stetigkeit der zweiten Ableitung. Außerdem sei die Hesselmatrix HF von F

stetig in einer offenen Umgebung. Die nennen wir U, also U Teilmenge Omega, in dem natürlich das

X Sternchen drin liegt. Und jetzt kommt die Aussage des Satzes, die hinreichenden Optimalitätsbedingungen

zweiter Ordnung verraten uns, dass dann dieser ausgezeichnete Punkt X Sternchen ein striktes

lokales Minimum der Zielfunktion ist. Dann ist X Sternchen Element U oder Omega ein striktes

lokales Minimum von F. Und mit strikt meinen wir, dass in der gesamten offenen Umgebung U kein anderer

Punkt ist, der den gleichen Funktionswert annimmt. Das bedeutet, dass dies wirklich ein isolierter

Punkt ist, der ein lokales Minimum darstellt in der Umgebung U. Wie sieht der Beweis aus? Der

funktioniert natürlich auch wieder über die Taylor-Formel, wie auch bei den notwendigen

Bedingungen. Diesmal ist es ein bisschen einfacher. Wir müssen gar nicht so viel zeigen. Das wollen wir

einmal schnell machen. Da wir wissen, dass die Hesselmatrix HF von F stetig und positiv definiert

ist im Punkt X Sternchen, können wir einen Radius finden. Das ist diese Umgebung, sodass die Hesselmatrix

weiterhin positiv definiert bleibt um den Punkt X Sternchen herum. Das wollen wir mal formalisieren.

Da die Hesselmatrix HF stetig und positiv definiert ist im Punkt X Sternchen in U,

können wir einen Radius R größer 0 finden, sodass die Hesselmatrix von X auch positiv definiert ist

für alle X, die in einem Ball von Radius R um X Sternchen herum liegen. Also das HF im Punkt X für

alle X in diesem Ball. Also ein offener Ball Radius R um X Sternchen herum. Und da muss die Hesselmatrix

natürlich auch positiv definiert sein wegen der Stetigkeit. Und jetzt können wir uns im Prinzip

einen beliebigen Richtungsvektor aussuchen, dessen Norm kleiner als R ist. Und dann können wir im

Prinzip uns anschauen, was passiert, wenn wir in diese Richtung gehen mit den Funktionswerten.

Also sagen wir für jeden Richtungsvektor, den wollen wir wieder mit P bezeichnen,

wie auch in den vorangegangenen Videos. Das ist ein Richtungsvektor um R auch n und wir wollen

die Null ausschließen. Das heißt, wir wollen uns wirklich wegbewegen von unserem stationären Punkt.

Und der darf in der Norm nicht größer R sein, denn dann würden wir diese Umgebung verlassen,

in der wir garantierte positive Definität haben. Das heißt, wir sagen die Norm von P ist echt

kleiner R. Dann gilt nach dem Satz von Taylor beziehungsweise dem Mittelwertsatz,